1- séance du 23/01/24:

introduction et motivations. Rappel du théorème de Cauchy-Lipschitz. Ecriture du problème de Cauchy y′=f(t,y),y(t0)=y0⋅⋅⋅⋅ comme problème de point fixe.

Ecriture d'équation différentielle d'ordre p≥2××××  y(p)=f(t,y,y′,…y(p−1))∗∗∗∗

comme un système d'ordre 1

Y′=F(t,Y).÷÷÷÷ où Y=(y,y′,…,y(p−1))⋄⋄⋄⋄  et F  construit convenablement à partir de  f.

Visualisation de quelques champ de vecteurs correspondant à une équation différentielle à l'aide du site https://demonstrations.wolfram.com/SlopeFields/

Schémas numériques à un pas:  définition, discrétisation (subdivision) du temps, pas de temps,  erreur de consistance, exemple du schéma d'Euler.

2- séance du 30/01/24:

suite des erreurs globales, amplification-accumulation des erreurs au cours des itérations du schéma.

Preuve de l'ordre de convergence du schéma d'Euler et des méthodes à un pas en fonction de l'ordre de l'erreur de consistance. Stabilité de l'erreur vis à vis de la condition initiale.

Schémas à un pas d'ordre supérieur (début)

3-séance du 06/02/2024:

Schémas à un pas d'ordre supérieur: schéma du point-milieu (Runge) d'ordre 2, des trapèzes d'ordre 2, de Heun d'ordre 3 et de Runge-Kutta d'ordre 4.

4-séance du 13/02/24.

Tableaux des schémas de Runge-Kutta explicites. Quelques schémas implicites: Euler implicite et trapèzes implicites. Calcul de  y1±±±± par méthode de point fixe contractant.

Quelques méthodes multipas: Adams-Bashforth explicite et Adams-Moulton implicite.  Méthodes de différentiation rétrograde (BDF).

5-séance du 27/02/24

Exemple d' instabilité d'un schéma multipas. Schémas multipas généraux. Critère de consistance. Vérification algébrique de la consistance à l'aide des polynômes associés. Notion de stabilité et CNS à l'aide des racines du polynôme caractéristique. (preuve à terminer).  Enoncé du théorème de convergence des schémas multipas:  convergence ssi consistance et stabilité.

6-séance du 19/03/2024

Preuve de la CNS de stabilité des schémas multipas à l'aide du lemme de la norme matricielle des matrices dont les valeurs propres sont de module inférieur à 1, les valeurs propres de module 1 étant simples. Principe de la preuve de la convergence des schémas multiplas explicites en se ramenant à un schéma à un pas matriciel.

Quelques simulations de trajectoires des planètes du système solaire par un étudiant. Quelques trajectoires de problèmes à 3 corps.

7-séance du 26/03/2024 CONTRÔLE CONTINU 1. 59 présents sur 85 inscrits.

8-séance du 02/04/24. Chapitre 2 Equations aux dérivées partielles.

Introduction. EDP du premier ordre. Equation de transport linéaire  ut+cux=0,u(x,t=0)=f(x)⊕⊕⊕⊕

Equation de transport  et méthode des caractéristiques, cas où c=c(x) n'est pas constant. Lois de conservation  non linéaires (début).

9-séance du 09/04/24. Lois de conservation non linéaires. Exemple du trafic routier. Les caractéristiques sont des droites mais elles  peuvent se croiser. A un instant t* où  des caractéristiques se croisent, la solution n'est plus définie. Une discontinuité apparaît. Il y a apparition d'une onde de choc que vous étudierez en Master. Discrétisation pas de temps \( \delta t \)  et  pas d'espace \( \delta x \) grille  de points (x_j, t_n). Schéma  décentré "avant" pour l'équation de transport linéaire u_t + c u_x =0 avec c >0. Non convergence du schéma car le schéma ne va pas chercher l'information dans la bonne direction.

10-séance du 22/04/24. Schéma décentré amont. Domaine de dépendance numérique et condition CFL \( \frac{c \delta t}{\delta x} \). CFL=cδt/δx≤1∘∘Erreur de consistance. Stabilité (méthode de Von Neumann).   Instabilité inconditionnelle du schéma centré. 

Equations de diffusion. Loi de Fourier-Fick. Obtention de l'équation de la chaleur.

11-séance du 30/04/24. Discrétisation par différences finies de l'équation de la chaleur. Schéma explicite. Erreur de consistance. Condition de stabilité. \( \frac{\mu \delta t}{\delta x ^2} \)CNS  de  stabilité par la méthode de Von Neumann.  Schéma implicite avec conditions limites périodiques. Calcul à l'aide d'une matrice tridiagonale.Stabilité inconditionnelle du schéma implicite.

12-séance du 7/05/2024. Preuve du fait que la matrice du système est définie positive. Schéma de Crank-Nicolson. Equations d'équilibre. Discrétisation par différences finies. Généralisation à deux dimensions. Equation de Poisson  -\Delta u = g. Schéma différences finies à 5 points pour le laplacien en deux dimensions. Preuve de la propriété de moyenne d'une fonction harmonique et traduction discrète.






Modifié le: jeudi 9 mai 2024, 16:04