1- séance du 21/01/25:

introduction et motivations. Rappel du théorème de Cauchy-Lipschitz. Principe de la preuve par la méthode des approximations successives.

Ecriture d'équation différentielle d'ordre  supérieur comme un système d'ordre 1.

Visualisation de quelques champ de vecteurs correspondant à une équation différentielle à l'aide du site https://demonstrations.wolfram.com/SlopeFields/

Schémas numériques à un pas:  définition, discrétisation (subdivision) du temps, pas de temps,  erreur de consistance, exemple du schéma d'Euler.

2- séance du 28/01/25:

suite des erreurs globales, amplification-accumulation des erreurs au cours des itérations du schéma.

Preuve de l'ordre de convergence du schéma d'Euler et des méthodes à un pas en fonction de l'ordre de l'erreur de consistance. Stabilité de l'erreur vis à vis de la condition initiale.

Schémas à un pas d'ordre supérieur : méthode du point milieu (début)

3-séance du 4/02/25.

Schémas à un pas d'ordre supérieur: schéma du point-milieu (Runge) d'ordre 2, des trapèzes d'ordre 2, de Heun d'ordre 3 et de Runge-Kutta d'ordre 4.

4-séance du 11/02/25.

Tableaux des schémas de Runge-Kutta explicites. Quelques schémas implicites: Euler implicite et trapèzes implicites. Calcul de  y_1 par méthode de point fixe contractant.

Quelques méthodes multipas: Adams-Bashforth explicite et Adams-Moulton implicite.  Méthodes de différentiation rétrograde (BDF).

5-séance du 18/02/25

Exemple d' instabilité d'un schéma multipas. Schémas multipas généraux. Critère de consistance. Vérification algébrique de la consistance à l'aide des polynômes associés. Notion de stabilité et CNS à l'aide des racines du polynôme caractéristique. (preuve à terminer).  Enoncé du théorème de convergence des schémas multipas:  convergence ssi consistance et stabilité.

6-séance du 04/03/2025

Preuve de la CNS de stabilité des schémas multipas à l'aide du lemme de la norme matricielle des matrices dont les valeurs propres sont de module inférieur à 1, les valeurs propres de module 1 étant simples. Principe de la preuve de la convergence des schémas multiplas explicites en se ramenant à un schéma à un pas matriciel.

7-séance du 11/03/2025. Contrôle continu. 60 étudiants présents sur 69 inscrits.

8-séance du 18/03/25. Chapitre 2 Equations aux dérivées partielles.

Introduction. EDP du premier ordre. Equation de transport linéaire. Méthode des caractéristiques, cas où c=c(x,t) n'est pas constant.

9-séance du 25/03/25.

Lois de conservation non linéaires. Exemple du trafic routier. Les caractéristiques sont des droites mais elles  peuvent se croiser. A un instant t* où  des caractéristiques se croisent, la solution n'est plus définie. Une discontinuité apparaît. Il y a apparition d'une onde de choc que vous étudierez en Master. 

Discrétisation par méthode de différences finies: pas de temps   et  pas d'espace. grille  de points (x_j, t_n). Schéma  décentré "avant" pour l'équation de transport linéaire u_t + c u_x =0 avec c >0. Domaine de dépendance d'un point.

10-séance du 01/04/24.  Non convergence du schéma "avant" car le schéma ne va pas chercher l'information du bon côté. Schéma décentré amont. Domaine de dépendance numérique et condition CFL . Erreur de consistance. Stabilité (méthode de Von Neumann).   Instabilité inconditionnelle du schéma centré.

11-séance du 08/04/25. Equations de diffusion. Loi de Fourier-Fick. Obtention de l'équation de la chaleur.Discrétisation par différences finies de l'équation de la chaleur. Schéma explicite. Erreur de consistance. Condition de stabilité. CNS  de  stabilité par la méthode de Von Neumann.  Schéma implicite avec conditions limites périodiques. Calcul à l'aide d'une matrice tridiagonale. Stabilité inconditionnelle du schéma implicite.

12-séance du 15/05/2025. Preuve du fait que la matrice du système est définie positive et bien conditionnée.  Equations d'équilibre. Discrétisation par différences finies. Généralisation à deux dimensions. Equation de Poisson  -\Delta u = g. Schéma différences finies à 5 points pour le laplacien en deux dimensions. Preuve de la propriété de moyenne d'une fonction harmonique et traduction discrète.



Modifié le: mardi 15 avril 2025, 18:38