Aperçu des sections

  • Présentation générale - 2023-2024

    Tout replier Tout déplier

    Les grandes lignes du programme sont :

    • En algèbre linéaire : notion d'espace vectoriel, notions de base et dimension pour les sous-espaces vectoriels de Rn ou Cn. Coordonnées d'un vecteur et matrice dune application linéaire dans une base. Formules de changement de base. Déterminants. Calcul de valeurs propres.
    • En analyse : dérivation (théorème de Rolle, théorème des accroissements finis), étude locale des fonctions (comparaison, développements limités, formules de Taylor), intégrations et calcul de primitives.

    Quelques références :

    • Algèbre :
          • Algèbre première année, F. Liret et D. Martinais
    • Analyse : 
          • Analyse première année, F. Liret et D. Martinais
    • Les deux :
          • Algèbre et analyse de première année, cours et exercices corrigés, S. Balac et F. Sturm

    Intervenant.e.s :

    • CM : Hélène Mathis
    • TD : 
      • A1_1 : Hélène Mathis et Ulysse Mounoud
      • A1_2 : Sylvain Maillot
      • A1_3 : Ba Duc Pham
      • A1_4 : Guillaume Le Mailloux et Sofian Sur Dorvault 
      • A1_5 : Gaëtan Planchon
      • A1_6 : Clément Dupont

  • Support de Cours

    Cette section contient des supports permettant de retrouver les énoncés précis des résultats du cours à connaître.

    Attention :  les exemples détaillés en amphi ne figurent pas sur les notes ci-dessous.

  • Feuilles de TDs (2023-2024)

    Cette section comprend les feuilles d'exercices utilisées en TD. Elle sera alimentée au cours du semestre.


  • Devoirs encadrés


    Dates prévues des devoirs encadrés (de 13:30 à 16:30) :

    • vendredi 16 février
    • vendredi 22 mars
    • vendredi 26 avril

  • Contrôles continus

    Dates prévues des Contrôles Continus (Durée 1h, 1h20 pour les tiers-temps) :

    • mercredi 28 février à 13:15
    • mercredi 10 avril à 13:15


    Programme du CC du 10/04

    Espaces vectoriels (CM et TD)

    Connaître les définitions d'ev et de sous-ev, savoir manipuler les lois de composition internes et externes, démontrer qu'un espace est un espace vectoriel ou sous-espace vectoriel, connaître la définition de la somme directe et savoir démontrer que deux sev sont en somme directe. 

    Familles libres, génératrices et bases (CM et TD)

    Connaître les définitions de familles libres, génératrices, liées. Savoir montrer qu'une famille engendre un espace. Connaître la définition d'un ev de dimension finie et de la dimension d'un espace. Connaître et savoir appliquer le théorème de la base incomplète. Savoir montrer qu'une famille maximale est une base en montrant qu'elle est génératrice ou libre. Savoir raisonner sur les dimensions de sev, notamment pour des sev supplémentaires. Connaître et savoir utiliser le théorème des 4 dimensions.

    Applications linéaires (CM et TD)

    Connaître et savoir démontrer qu'une application est linéaire. Savoir démontrer que l'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel. Connaître les propriétés sur la composition d'applications linéaires. Calculer l'image et le noyau d'applications linéaires et déterminer si elles sont injectives ou surjectives. Connaître et appliquer le théorème du rang. Donner la représentation matricielle d’une application linéaire, dans une base ou une autre. Appliquer la formule de changement de bases.

    Déterminants (CM et TD)

    Appliquer les opérations sur les colonnes ou les lignes d'un déterminant pour le calculer. Savoir que permuter deux colonnes (ou deux lignes) multiplie le déterminant par -1. Savoir que le déterminant est inchangé par combinaison linéaire sur une colonne. Utiliser que le déterminant de la transposée de A est égal au déterminant de A. Exploiter que le déterminant d'une matrice triangulaire, en particulier diagonale, est le produit des éléments diagonaux. Maîtriser le développement suivant une ligne ou une colonne. Utiliser le déterminant pour démontrer qu'une famille est libre. Utiliser le déterminant pour démontrer qu'une matrice est inversible. Utiliser le déterminant pour calculer le rang d'une matrice. 

    Valeurs propres et diagonalisation (CM et TD)

    Connaître la définition d'un vecteur propre v et d'une valeur propre l d'une matrice carrée A : A v = l v. Savoir exploiter cette formule. Connaître la définition d'une matrice diagonalisable (les valeurs propres doivent être distinctes, les vecteurs propres sont non nuls). Savoir comment calculer la valeur propre l d'une matrice A en cherchant la racine du polynôme det(A-l Id) où Id est la matrice identité. Si une matrice a 0 pour valeur propre, elle n'est pas inversible. Si A est diagonalisable, ses vecteurs propres forment une base dans laquelle la matrice représentative de A est diagonale, avec les valeurs propres sur la diagonale.

    Dérivation (CM)

    Démontrer qu'une fonction est continue (voir cours du S1). Connaître et utiliser la notion de taux d'accroissement pour montrer qu'une fonction est dérivable, pour calculer des limites. Connaître l'équation de la tangente d'une fonction en un point. Connaître les dérivées usuelles ainsi que les formules de dérivées de sommes, produits et composées de fonctions dérivables. Calculer des dérivées successives. Connaître la définition de point critique, maximum local et global (minimum aussi). Connaître le théorème de Rolle (sa démonstration n'est pas requise, mais il faut le connaître, et savoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires). Connaître le théorème des accroissements finis (sa démonstration doit être connue comme application du théorème de Rolle) et l'appliquer. Connaître un théorème signifie en donner un énoncé précis, hypothèses incluses. Appliquer l'inégalité des accroissements finis, en déduire le sens de variation d'une fonction dérivable dont la dérivée est signée.



  • Examen final (première et seconde sessions)

    Les sujets d'examen tiendront compte de la progression de chacun des groupes de TD. 


    • Programme de 2023-2024

      Espaces vectoriels (CM et TD)

      Connaître les définitions d'ev et de sous-ev, savoir manipuler les lois de composition internes et externes, démontrer qu'un espace est un espace vectoriel ou sous-espace vectoriel, connaître la définition de la somme directe et savoir démontrer que deux sev sont en somme directe. 

      Familles libres, génératrices et bases (CM et TD)

      Connaître les définitions de familles libres, génératrices, liées. Savoir montrer qu'une famille engendre un espace. Connaître la définition d'un ev de dimension finie et de la dimension d'un espace. Connaître et savoir appliquer le théorème de la base incomplète. Savoir montrer qu'une famille maximale est une base en montrant qu'elle est génératrice ou libre. Savoir raisonner sur les dimensions de sev, notamment pour des sev supplémentaires. Connaître et savoir utiliser le théorème des 4 dimensions.

      Applications linéaires (CM et TD)

      Connaître et savoir démontrer qu'une application est linéaire. Savoir démontrer que l'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel. Connaître les propriétés sur la composition d'applications linéaires. Calculer l'image et le noyau d'applications linéaires et déterminer si elles sont injectives ou surjectives. Connaître et appliquer le théorème du rang. Donner la représentation matricielle d’une application linéaire, dans une base ou une autre. Appliquer la formule de changement de bases.

      Déterminants (CM et TD)

      Appliquer les opérations sur les colonnes ou les lignes d'un déterminant pour le calculer. Savoir que permuter deux colonnes (ou deux lignes) multiplie le déterminant par -1. Savoir que le déterminant est inchangé par combinaison linéaire sur une colonne. Utiliser que le déterminant de la transposée de A est égal au déterminant de A. Exploiter que le déterminant d'une matrice triangulaire, en particulier diagonale, est le produit des éléments diagonaux. Maîtriser le développement suivant une ligne ou une colonne. Utiliser le déterminant pour démontrer qu'une famille est libre. Utiliser le déterminant pour démontrer qu'une matrice est inversible. Utiliser le déterminant pour calculer le rang d'une matrice. 

      Valeurs propres et diagonalisation (CM et TD)

      Connaître la définition d'un vecteur propre v et d'une valeur propre l d'une matrice carrée A : A v = l v. Savoir exploiter cette formule. Connaître la définition d'une matrice diagonalisable (les valeurs propres doivent être distinctes, les vecteurs propres sont non nuls). Savoir comment calculer la valeur propre l d'une matrice A en cherchant la racine du polynôme det(A-l Id) où Id est la matrice identité. Si une matrice a 0 pour valeur propre, elle n'est pas inversible. Si A est diagonalisable, ses vecteurs propres forment une base dans laquelle la matrice représentative de A est diagonale, avec les valeurs propres sur la diagonale.

      Dérivation (CM et TD)

      Démontrer qu'une fonction est continue (voir cours du S1). Connaître et utiliser la notion de taux d'accroissement pour montrer qu'une fonction est dérivable, pour calculer des limites. Connaître l'équation de la tangente d'une fonction en un point. Connaître les dérivées usuelles ainsi que les formules de dérivées de sommes, produits et composées de fonctions dérivables. Calculer des dérivées successives. Connaître la définition de point critique, maximum local et global (minimum aussi). Connaître le théorème de Rolle (sa démonstration n'est pas requise, mais il faut connaître et savoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires). Connaître le théorème des accroissements finis (sa démonstration doit être connue comme application du théorème de Rolle) et l'appliquer. Connaître un théorème signifie en donner un énoncé précis, hypothèses incluses. Appliquer l'inégalité des accroissements finis, en déduire le sens de variation d'une fonction dérivable dont la dérivée est signée.

      Primitives et intégrales (CM uniquement)

      Définition d'une subdivision et d'une fonction en escalier. Calculer l'intégrale d'une fonction en escalier. Connaître la définition d'une fonction Riemann-intégrable. Démontrer que l'ensemble des fonctions en escalier et des fonctions Riemann-intégrables sont des espaces vectoriels.  Sommes de Riemann : maîtriser les exemples du CM et du DE. Connaître le théorème fondamentale de l'analyse (la démonstration n'est pas requise). Connaître les primitives usuelles. Appliquer la formule d'intégration par parties, maîtriser les exemples du CM et du DE. Appliquer des changement de variables (affines ou non) pour calculer des intégrales. Calculs de primitives de la forme (polynôme) x (exponentielle) et (polynôme) x (fonctions trigonométriques). Intégrales et primitives de fractions rationnelles, maîtriser les exemples du CM.

      Développements limités (CM uniquement)

      Connaître la définition d'un développement limité, de la partie principale et du reste. Connaître le théorème de Taylor-Young. La formule de Taylor avec reste intégrale sera rappelée en cas de besoin. Connaître la définition et les propriétés des o(xn). Connaître (ou savoir retrouver) les développements à l'ordre n en 0 de cos(x), sin(x), exp(x) et 1/(1-x). Calculer le DL d'une somme/d'un produit de 2 fonctions en utilisant leurs DL. Déduire du DL en 0 de 1/(1-x) celui de 1/(1+x) et 1/(1+x2). Savoir intégrer un DL, appliquer cette méthode pour retrouver le DL de ln(1+x). Démontrer que, si une fonction paire (impaire) admet un DL, sa partie principale est paire (impaire).







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  • Archives

    Cette section contient différents document permettant de travailler le contenu de cours :

    • des fiches de travaux dirigés,
    • des sujets de devoirs encadrés,
    • des sujets/corrigés des contrôles continus et examens.