Espaces vectoriels (CM et TD)

Connaître les définitions d'ev et de sous-ev, savoir manipuler les lois de composition internes et externes, démontrer qu'un espace est un espace vectoriel ou sous-espace vectoriel, connaître la définition de la somme directe et savoir démontrer que deux sev sont en somme directe. 

Familles libres, génératrices et bases (CM et TD)

Connaître les définitions de familles libres, génératrices, liées. Savoir montrer qu'une famille engendre un espace. Connaître la définition d'un ev de dimension finie et de la dimension d'un espace. Connaître et savoir appliquer le théorème de la base incomplète. Savoir montrer qu'une famille maximale est une base en montrant qu'elle est génératrice ou libre. Savoir raisonner sur les dimensions de sev, notamment pour des sev supplémentaires. Connaître et savoir utiliser le théorème des 4 dimensions.

Applications linéaires (CM et TD)

Connaître et savoir démontrer qu'une application est linéaire. Savoir démontrer que l'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel. Connaître les propriétés sur la composition d'applications linéaires. Calculer l'image et le noyau d'applications linéaires et déterminer si elles sont injectives ou surjectives. Connaître et appliquer le théorème du rang. Donner la représentation matricielle d’une application linéaire, dans une base ou une autre. Appliquer la formule de changement de bases.

Déterminants (CM et TD)

Appliquer les opérations sur les colonnes ou les lignes d'un déterminant pour le calculer. Savoir que permuter deux colonnes (ou deux lignes) multiplie le déterminant par -1. Savoir que le déterminant est inchangé par combinaison linéaire sur une colonne. Utiliser que le déterminant de la transposée de A est égal au déterminant de A. Exploiter que le déterminant d'une matrice triangulaire, en particulier diagonale, est le produit des éléments diagonaux. Maîtriser le développement suivant une ligne ou une colonne. Utiliser le déterminant pour démontrer qu'une famille est libre. Utiliser le déterminant pour démontrer qu'une matrice est inversible. Utiliser le déterminant pour calculer le rang d'une matrice. 

Valeurs propres et diagonalisation (CM et TD)

Connaître la définition d'un vecteur propre v et d'une valeur propre l d'une matrice carrée A : A v = l v. Savoir exploiter cette formule. Connaître la définition d'une matrice diagonalisable (les valeurs propres doivent être distinctes, les vecteurs propres sont non nuls). Savoir comment calculer la valeur propre l d'une matrice A en cherchant la racine du polynôme det(A-l Id) où Id est la matrice identité. Si une matrice a 0 pour valeur propre, elle n'est pas inversible. Si A est diagonalisable, ses vecteurs propres forment une base dans laquelle la matrice représentative de A est diagonale, avec les valeurs propres sur la diagonale.

Dérivation (CM uniquement)

Démontrer qu'une fonction est continue (voir cours du S1). Connaître et utiliser la notion de taux d'accroissement pour montrer qu'une fonction est dérivable, pour calculer des limites. Connaître les dérivées usuelles ainsi que les formules de dérivées de sommes, produits et composées de fonctions dérivables. Connaître la définition de point critique, maximum local et global (minimum aussi). Connaître le théorème de Rolle (sa démonstration n'est pas requise). Connaître le théorème des accroissements finis  et l'appliquer. Connaître un théorème signifie en donner un énoncé précis, hypothèses incluses. 


Modifié le: vendredi 4 avril 2025, 07:46