1- séance du 20/01/26:

introduction et motivations. Rappel du théorème de Cauchy-Lipschitz. Principe de la preuve par la méthode des approximations successives. Stabilité vis à vis de la donnée initiale.

Ecriture d'équation différentielle d'ordre  supérieur comme un système d'ordre 1.

Visualisation de quelques champ de vecteurs correspondant à une équation différentielle.

Schémas numériques à un pas:  définition, discrétisation (subdivision) du temps, pas de temps,  erreur de consistance, exemple du schéma d'Euler.

2- séance du 03/02/26:

suite des erreurs globales, amplification-accumulation des erreurs au cours des itérations du schéma.

Preuve de l'ordre de convergence du schéma d'Euler. Stabilité du schéma vis à vis de la condition initiale.

3-séance du 4/02/26.

Stabilité du schéma vis à vis des erreurs d'arrondis. 

Théorème des méthodes à un pas en fonction de l'ordre de l'erreur de consistance.

Schémas à un pas d'ordre supérieur: schéma du point-milieu (Runge) d'ordre 2,  de Heun d'ordre 3 (début).

4-séance du 10/02/26.

Schémas à un pas d'ordre supérieur:   Heun d'ordre 3 et Runge-Kutta d'ordre 4.

Tableaux des schémas de Runge-Kutta explicites. Quelques schémas implicites: Euler implicite et trapèzes implicites. Calcul de  y_1 par méthode de point fixe contractant.

5-séance du 17/02/26.

schémas multipas. Principe des schémas d'Adams  (intégration du polynôme d'interpolation) et des schémas BDF (dérivation du polynôme d'interpolation).

Exemple de schéma instable et pourtant d'ordre élevé. Définition de l'erreur de consistance d'un schéma multipas. Polynômes associés au schéma.

6-séance du 24/02/26. 

Critère de consistance à l'aide des polynômes associés. Notion de (zéro)-stabilité. CNS de stabilité à l'aide du module des racines du polynôme caractéristique. CNS de convergence des schémas multipas (théorème de Dahlquist). Preuve commencée mais pas terminée.

7- séance du 10 mars. CC1. 71 présents. 

8- séance du 17 mars.

Début du chapitre EDP. Introduction. Exemples. Définitions. Principe de superposition pour les EDP linéaires. Equation de transport linéaire à coefficients constants. Méthode des caractéristiques dans le cas général des équations de transport linéaire.

9- séance du 24 mars.

Méthode des caractéristiques (suite). Exemple dans le cas linéaire  où la vitesse n'est pas constante. Les caractéristiques sont des courbes quelconques.  Lois de conservations non linéaires. Dérivation des équations. Les caractéristiques sont des droites.  Exemple du trafic routier (début).

10-séance du 31 mars.

Méthode des caractéristiques (fin). Exemple du trafic routier. Les caractéristiques peuvent se croiser et donc on ne peut plus définir la solution à partir d'un moment. Il peut y avoir apparition de discontinuité même si la donnée initiale est lisse. 

Discrétisation des EDP par la méthode des différences finies.Pas de temps et pas d'espace. Grille de calcul.  Cas de l'équation d'advection linéaire. Différences finies avant. Nombre de Courant-Friedrichs-Lewy: \( \frac{c \delta t}{\delta x} \).

11- séance du 7 avril.

Nécessité de discrétiser vers l'amont. Schéma amont ou upwind.  Domaine de dépendance et nombre de Courant.  Preuve de convergence du schéma amont lorsque \( \frac{|c| \delta t}{\delta x} \leq 1. \)  Ordre un en temps et en espace. Schéma centré. Stabilité au sens de Von Neumann. Instabilité du schéma centré pour toutes les fréquences k (sauf si  \( k \delta x \equiv 0 [\pi] \)).

12 - séance du 14 avril.

Equations de diffusion. Loi de Fourier-Fick. Obtention de l'équation de la chaleur.Discrétisation par différences finies de l'équation de la chaleur. Schéma explicite. Erreur de consistance. Condition de stabilité  CNS  de  stabilité \( \frac{\mu \delta t}{(\delta x)^2} \)par la méthode de Von Neumann.  Convergence (admise) du schéma. Ordre un en temps et ordre deux en espace.  Schéma implicite. 

Modifié le: mardi 14 avril 2026, 18:54