1- séance du 20/01/26:

introduction et motivations. Rappel du théorème de Cauchy-Lipschitz. Principe de la preuve par la méthode des approximations successives. Stabilité vis à vis de la donnée initiale.

Ecriture d'équation différentielle d'ordre  supérieur comme un système d'ordre 1.

Visualisation de quelques champ de vecteurs correspondant à une équation différentielle.

Schémas numériques à un pas:  définition, discrétisation (subdivision) du temps, pas de temps,  erreur de consistance, exemple du schéma d'Euler.

2- séance du 03/02/26:

suite des erreurs globales, amplification-accumulation des erreurs au cours des itérations du schéma.

Preuve de l'ordre de convergence du schéma d'Euler. Stabilité du schéma vis à vis de la condition initiale.

3-séance du 4/02/26.

Stabilité du schéma vis à vis des erreurs d'arrondis. 

Théorème des méthodes à un pas en fonction de l'ordre de l'erreur de consistance.

Schémas à un pas d'ordre supérieur: schéma du point-milieu (Runge) d'ordre 2,  de Heun d'ordre 3 (début).

4-séance du 10/02/26.

Schémas à un pas d'ordre supérieur:   Heun d'ordre 3 et Runge-Kutta d'ordre 4.

Tableaux des schémas de Runge-Kutta explicites. Quelques schémas implicites: Euler implicite et trapèzes implicites. Calcul de  y_1 par méthode de point fixe contractant.

5-séance du 17/02/26.

schémas multipas. Principe des schémas d'Adams  (intégration du polynôme d'interpolation) et des schémas BDF (dérivation du polynôme d'interpolation).

Exemple de schéma instable et pourtant d'ordre élevé. Définition de l'erreur de consistance d'un schéma multipas. Polynômes associés au schéma.

6-séance du 24/02/26. 

Critère de consistance à l'aide des polynômes associés. Notion de (zéro)-stabilité. CNS de stabilité à l'aide du module des racines du polynôme caractéristique. CNS de convergence des schémas multipas (théorème de Dahlquist). Preuve commencée mais pas terminée.

Modifié le: mardi 24 février 2026, 18:17