Devoir Maison

Voici un modèle de raisonnement, pour une autre fonction (évidemment je ne vais pas faire celle du sujet...) présentée de la même manière.

Considérons la fonction \( f:[0,+\infty[\to\mathbb{R} \) définie par :

--- \( f(x)=x\ln(x) \) si \(x\) n'est pas nul,

--- \(f(0)=0\)

Est-ce que cette fonction est continue sur \(\mathbb{R}\) ? dérivable sur \(\mathbb{R}\) ?

Il faut bien se rendre compte qu'il y a deux temps bien distincts dans l'analyse de ces questions :

1. Sur l'intervalle ouvert \(]0,+\infty[\), la fonction est donnée par une formule, plus précisément par un produit de fonctions dérivables (donc continues) . Donc sur cet intervalle ouvert, la fonction est dérivable (et donc continue !) par un résultat général du cours, et \(f'(x)=\cdots\) en appliquant la formule de dérivation d'un produit.
   
2. Au point 0, la situation est totalement différente, aucun résultat général du cours ne s'applique : la fonction est définie par une valeur particulière au point 0 et par une formule aux points différents, on a donc une définition "hétérogène" qui ne nous permet pas de conclure. Il va falloir d'abord regarder la continuité, et ensuite (s'il y a continuité) regarder la dérivabilité. Mais comme on connaît bien son cours, on se dit qu'il n'y a qu'à revenir à la définition de la continuité puis à la définition de la dérivabilité :
   1. Est-ce que \(f(x)\) tend vers \(f(0)\), qui est égal à 0 par définition, lorsque \(x\) tend vers 0 ? Oui, c'est une "limite classique". Donc la fonction \(f\) est bien continue au point 0.
      
   2. Sachant cela, est-ce que la fonction \(f\) est de plus dérivable au point 0 ? Pour cela, il faut regarder si le taux d'accroissement \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\) admet une limite lorsque \(x\) tend vers 0. Si oui, la fonction est bien dérivable en 0 et \(f'(0)\) est égal à cette limite, et si non alors la fonction n'est pas dérivable en 0. Or ici, le taux d'accroissement est \(\ln(x)\), ce qui n'admet pas de limite (finie) quand \(x\) tend vers 0. Donc la fonction \(f\) n'est pas dérivable en 0.