"Pour démontrer la bijection, faut-il passer par la bijection réciproque ou bien la définition de la bijection suffit-elle ?"
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question.
L'idée est la suivante, je crois qu'on en a déjà parlé ensemble : on cherche à savoir si une fonction donnée est bijective, et, si elle ne l'est pas, à "la rendre bijective" en diminuant son domaine d'arrivée et son domaine de définition, de sorte à perdre le moins d'information possible.
Disons par exemple qu'on regarde la fonction "carré" x^2. Admettons que je découvre cette fonction pour la première fois. Je vois bien qu'elle est définie sur R tout entier. Je l'étudie, et je vois qu'elle est dérivable, décroissante sur R_ et croissante sur R+, avec des limites infinies. J'en déduis déjà que son image est R+ (ok ?), mais aussi qu'elle n'est pas bijective de R sur R+ : elle prend plusieurs fois la même valeur. Donc il s'agit de diminuer son domaine de définition pour qu'elle devienne injective *sans changer son image*. Ici on a deux choix possibles :
--- soit je restreins la fonction à R+, et alors c'est une bijection de R+ sur R+ (dont la bijection réciproque est la fonction racine carrée usuelle)
--- soit je restreins la fonction à R-, et alors c'est une bijection de R- sur R+ (dont la bijection réciproque est l'opposé de la fonction racine carrée)
Le "théorème de la bijection" est un théorème d'analyse qui permet de dire, sous certaines hypothèses, qu'une fonction est une bijection de tel intervalle sur tel intervalle. Et, seulement après avoir dit ça, on peut parler de la bijection réciproque.