La fonction nulle est-elle de dérivée nulle ?

La fonction nulle est-elle de dérivée nulle ?

par Theret David,
Nombre de réponses : 3

Un résultat bien connu du cours dit : "une fonction constante est dérivable et de dérivée nulle".

Supposons que j'aie une fonction définie par f(x)=... (une formule en x) pour x différent de 0, et f(0)=0. Puis-je appliquer ce résultat en disant :

\( \star \) "puisque f(0)=0, la fonction f est nulle en 0, or la dérivée de la fonction nulle est nulle, donc f est dérivable en 0 et f'(0)=0"    ?

C'est une question très classique, je m'étonnais de ne pas l'avoir encore entendue de votre part, merci à toi de l'avoir posée.

Mmm...

Que pensez-vous de ce que cela dirait de la fonction suivante ?

Soit \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) définie par :

  • \( f(x)=x\quad\text{si}\quad x\not=0 \)
  • \( f(0)=0 \)
Vous allez dire que c'est une manière très étrange de parler de "f(x)=x pour tout x réel", mais bon, pourquoi pas ?

Alors, est-ce que le raisonnement \( \star \) donne le bon résultat pour cette fonction ? Si non, pourquoi ?

Tout le monde peut répondre, pas seulement la personne qui a posé la question ! (si j'ai correctement interprété la question)
En réponse à Theret David

Re: La fonction nulle est-elle de dérivée nulle ?

par Baillot Charlotte,
Bonjour merci d'avoir répondu à ma question mais je vous avoue que je n'ai toujours pas compris...
En réponse à Baillot Charlotte

Re: La fonction nulle est-elle de dérivée nulle ?

par Baillot Charlotte,
Parce que ici la dérivée de f(x) c'est f'(x) =1 mais du coup est - ce que ça marche aussi pour 0? Est-ce que f'(0)=1?
En réponse à Baillot Charlotte

Re: La fonction nulle est-elle de dérivée nulle ?

par Theret David,
Avec mon exemple bizarrement présenté, la fonction f est juste la fonction identité f(x)=x, donc f'(x)=1 comme tu dis. En particulier f'(0)=1, bien sûr, et vous n'auriez aucun état d'âme à le dire si la fonction n'était pas bizarrement présentée.

Donc le "résultat général" ne s'applique pas ? Ou alors on ne comprend pas bien ce qu'il dit ??

Que dit ce résultat ? Que si la fonction est nulle alors la dérivée est nulle. Mais que veut dire "nulle" ?

Et aussi : si je connais uniquement la valeur d'une fonction en un point a, et que je sais qu'elle est dérivable en a, puis-je dire quoi que ce soit de la valeur de f'(a) ? Si vous réfléchissez à ce que signifie géométriquement le nombre dérivé f'(a) par rapport au graphe de f, je pense que vous répondrez facilement à cette question. En particulier, si f(a)=0 peut-on dire quelque chose de la valeur de f'(a) ??

Tout ça nous renvoie de nouveau à la signification de "nulle", qui peut être compris de plusieurs manières...