#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Feuille de calcul symbolique de développements limités 

# Importation des packages Python

# In[1]:


from sympy import *
from sympy.interactive import printing 


# x est désormais un symbole (qui sera la variable dans nos DL)

# In[2]:


x = symbols('x')


# La fonction series permet de faire des DL.
# Par défaut, les DL sont calculés en 0 à l'ordre 5.
# Attention : Python utilise un "grand O" et pas un "petit o". 

# In[13]:


series(ln(1+x),x)


# On écrira que $\ln(1+x)= x-\dfrac{x^2}{2}+ \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5)$.

# In[15]:


series(cos(x),x)


# On écrira que $\cos(x)= 1-\dfrac{x^2}{2}+ \dfrac{x^4}{24}+o(x^5)$.

# Pour faire un DL au point c à un ordre supérieur à 6, exécuter le code ci-dessous.

# In[17]:


c=1
n=7
series(sqrt(x),x,c,n+1)


# Pensez à remplacer le $O((x-1)^8)$ par un $o((x-1)^7)$.

# ## Corrections de la feuille de TD 9

# Exercice 5

# In[19]:


# 1.
series(cos(x)+2*ln(1+x),x,0,5)


# On obtient $\cos(x)+2\ln(1+x)=1+2x-\dfrac{3x^2}{2}+ \dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{11x^4}{24}+o(x^4)$.

# In[21]:


#2.
series(sqrt(1+x)-sin(x),x,0,6)


# On obtient $\sqrt{1+x}-\sin(x)=1-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}+ \dfrac{11x^3}{48}-\dfrac{5x^4}{128}+ \dfrac{73x^5}{3840}+o(x^5)$.

# In[23]:


#3.
series(x+x**3+atan(x),x,0,5)


# On obtient $x+x^3+\arctan(x)=2x+ \dfrac{2x^3}{3}+o(x^4)$.

# Exercice 6

# In[25]:


#1.
series(sqrt(x),x,1,4)


# On obtient $\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}- \dfrac{(x-1)^2}{8}+\dfrac{(x-1)^3}{16}+\dfrac{x}{2}+o((x-1)^3)$.

# In[28]:


#2.
series(asin(ln(x)),x,1,4)


# On obtient $\arcsin(\ln(x)) = -1-\dfrac{(x-1)^2}{2}+\dfrac{(x-1)^3}{2}+x+o((x-1)^3)$.

# In[30]:


#3.
series(exp(sin(x)),x,pi/3,4)


# Exercice 7 
# 
# Remarque : penser à remplacer les $O(x^{n+1})$ par des $o(x^n)$. 

# In[31]:


#1.
series(cos(x)*exp(x),x,0,5)


# In[32]:


#2.
series((sin(x))**6,x,0,7)


# In[33]:


#3.
series((ln(1+x))**2,x,0,5)


# Exercice 8 
# 
# Remarque : penser à remplacer les $O(x^{n+1})$ par des $o(x^n)$.

# In[34]:


#1.
series(1/cos(x),x,0,5)


# In[35]:


#2.
series(tan(x),x,0,6)


# In[37]:


#3.
series(ln(3*exp(x)+exp(-x)),x,0,6)


# Exercice 11 

# In[38]:


# 1.
series((1/(1+x**2)-cos(x))/x**2,x,0)


# On en déduit que $\lim_{x\to 0}f(x) = -\dfrac{1}{2}$.

# In[42]:


# 2.
series((atan(x)-x)/(sin(x)-x),x,0)


# On en déduit que $\lim_{x\to 0}f(x) = 2$.

# In[44]:


# 3.
series(1/(sin(x))**2 - 1/(sinh(x))**2,x,0)


# On en déduit que $\lim_{x\to 0}f(x) = 2/3$.

# In[48]:


#4.
a = symbols('a')
b = symbols('b')
# La technique est de faire un DL de ln(f(x)).
# on tronque le DL pour n'avoir que des termes d'ordre 0 et 1.
series(ln((a**x +b**x)/2)*(1/x),x,0,2)


# En repassant à l'exponentielle, on en déduit que $\lim_{x\to 0} f(x) = \sqrt{ab}$.

# In[ ]: